Строение их матрицы

$\mathcal{A}$ - самосопряжённый $\iff$ в некотором ОНБ его матрица диагональна с вещественными элементами на диагонали.

$\Large\implies$ Пусть $\mathcal{A} = \mathcal{A}^*$. По теореме о структуре нормального оператора на диагонали стоят собственные числа. По лемме эти собственные числа вещественные. Утверждение верно и в унитарном, и в евклидовом случае, так как если в матрице есть блоки вида $$ \rho \begin{pmatrix} \cos\alpha & \sin\alpha \\ -\sin\alpha & \cos\alpha \end{pmatrix} $$ то $\mathcal{A}$ - не самосопряжённый, противоречие с условием. $\Large\impliedby$ Пусть в ортонормированном базисе матрица $A$ оператора $\mathcal{A}$ диагональна с вещественными элементами. В этом базисе матрица сопряжённого оператора $\mathcal{A}^*$ есть ${} A^* = \overline{A^{T}} {}$. Так как $A$ диагональна и вещественна, $\overline{A}=A$ и ${} A^T = A {}$, тогда $A^*=A$. Следовательно, $\mathcal{A}=\mathcal{A}^*$. $\square$

Пусть $\mathcal{A}$ - самосопряжённый оператор, $e$ - исходный базис, $f$ - ОНБ из собственных векторов, тогда: $$[\mathcal{A}]_{f} = D = T^{*}[\mathcal{A}]_{e}T$$ где $D = \begin{pmatrix}\lambda_{1} & 0 & \dots \\ 0 & \lambda_{2} & \dots \\ \vdots & \vdots & \ddots \end{pmatrix}$, а $T$ - матрица перехода, составленная из векторов ОНБ.

Поскольку $f$ - ОНБ, то по условиям унитарности матрица перехода $T$ унитарна. Значит переход от старого базиса к новому имеет вид: $$D = T^{-1} [\mathcal{A}]_e T = T^* [\mathcal{A}]_e T$$ $\square$